Mathematica学习笔记（二）：基本函数等内容~

Mathematica对大小写敏感，所以请注意内置函数或功能的大小写区别。

Mathematica一般都是给出精确地答案，除非明确要求，否则2开根给出的就是根号2而非近似值。在计算后面加上“//Timing”,不包含引号，可给出所花费的CPU时间，不包含显示到终端所花费的时间。

此文结束后可以按照自己的兴趣尝试这些函数，熟悉这些对以后的复杂应用很有帮助~

尚未对以下内容一一验证，可能有错误的地方。我会保持修订的。

<系统常量>

Pi 3.1415的无限精度数值

E 2.17828的无限精度数值

Catalan 0．915966Catalan常数

EulerGamma 0．5772Euler常数

Khinchin 2．68545Khinchin

Glaisher 0．915966Glaisher

GoldenRatio 1．61803黄金分割数

Degree π/l80角度弧度换算

I 复数单位

Infinity 无穷大

-Infinity 负无穷大

Complexlnfinity 复无穷大

Indeterminate 不定式

<代数计算>

Expand[expr] 展开表达式

Factor[expr] 展开表达式

Simplify[expr] 化简表达式

FullSimplify[expr] 将特殊函数也进行化简

PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式

ComplexExpand[expr,{x1，x2⋯}] 按复数实部虚部展开

FunctionExpand[expr] 化简表达式中的特殊函数

Collect[expr,x] 合并同次项

Collect[expr,{x1，x2，⋯}] 合并x1，x2,...的同次项

Together[expr] 通分

Apart[expr] 部分分式展开

Apart[expr,var] 对var的部分分式展开

Cancel[expr] 约分

ExpandAll[expr] 展开表达式

ExpandAll[expr,patt] 展开表达式

FactorTermsrpoly] 提出共有的数字因子

FactorTerms[poly，x] 提出与x无关的数字因子

FactorTerms[poly,(x1,x2…)] 提出与xi无关的数字因子

Coefficient[expr,form] 多项式expr中form的系数

Coefficient[expr,form，n] 多项式expr中form^n的系数

Exponent[expr,form] 表达式expr中form的最高指数

Numerator[expr] 表达式expr的分子

Denominator[expr] 表达式expr的分母

ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子部分

<解方程>

Solve[eqns,vats] 从方程组eqns中解出Vats

Solve[eqns,vats,elims] 从方程组eqns中削去变量elims，解出vats

DSolve[eqn,y,x] 解微分方程，其中、y是x的函数

DSolve[{eqnl,eqn2,⋯}，{y1，y2⋯},] 解微分方程组，其中yi是x的函数

DSolve[eqn,y,{x1,x2…}] 解偏微分方程

Eliminate[eqns，Vats] 把方程组eqns中变量vars约去

SolveAlways[eqns，vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件

Reduce[eqns，Vats] 化简并给出所有可能解的条件

LogicalExpand[expr] 用&&和，，将逻辑表达式展开

InverseFunction[f] 求函数f的反函数

Root[f,k] 求多项式函数的第k个根

Roots[1hs==rhs，var] 得到多项式方程的所有根

微积分

D[f,x] 求f[x]的微分

D[f,{x，n}] 求f[x]的n阶微分

D[f,x1,x2…] 求f[x]x1,x2⋯偏微分

Dt[f,x] 求f[x]的全微分df/dx

Dt(f) 求f[x]的全微分df

Dt[f,{x,n}] n阶全微分d^nf/dx^n

Dt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分

Integrate[f,x] f[x]对x在的不定积分

Integrate[f,{x，xmin，xmax}] f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分

Integrate[f,{x，xmin，xmax},{y,ymin,ymax}] f[x,y]的二重积分

Limit[expr,x->x0] x趋近于x0时expr的极限

Residue[expr,{x,x0}] expr在x0处的留数

Series[f,{x,x0,n}] 给出f[x]在x0处的幂级数展开

Series[f,{x，x0,nx}，{y，y0，ny}] 先对y幂级数展开，再对x幂级数展开

Normal[expr] 化简并给出最常见的表达式

SeriesCoefficient[series，n] 给出级数中第n次项的系数

SeriesCoefficient[series,{n1,n2…}] 一阶导数

InverseSeries[s,x] 给出逆函数的级数

ComposeSeries[seriel,serie2…] 给出两个基数的组合

SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den] 表示一个x0处x的幂级数

O[x]^n n阶小量x^n

<多项式函数>

Variables[poly] 给出多项式poly中独立变量的列表

CoefficientList[poly,var] 给出多项式poly中变量var的系数

CoefficientList[poly,{varl,var2…}] 给出多项式poly中变量var(i)的系数列

PolynomialMod[poly,m] poly中各系数mod m同余后得到的多项式，m可为整式

PolynomialQuotient[p,q,x] 以x为自变量的两个多项式之商式p/

PolynomialRemainder[p,q,x] 以x为自变量的两个多项式之余式

P01ynomialGCD[polyl,poly2,...] poly(i)的最大公因式

PolynomialLCM[polyl,poly2．．．．] poly(i)的最小公倍式

PolynomialReduce[pjoly，{polyl,Poly2,..}，{xl,x2⋯}) 得到一个表I(a1，a2，·)，b)其中Sumld*polyi]+b=poly

Resultant[polyl,poly2,var] 约去polyl,poly2中的var

Factor[poly] 因式分解(在整式范围内)

FactorTerms[poly] 提出poly中的数字公因子

FactorTerms[poly,{x1，x2⋯}] 提出poly中与xi无关项的数字公因子

FactorList[poly]，FactorSquareFreeList[poly]，FactorTermsList[poly,{x1，x2⋯}] 给出各个因式列表

Cyclotomic[n,x] n阶柱函数

Decomposet[poly,x] 迭代分解，给出{p1,p2,...}，其中P1(p2(⋯))=poly

InterpolafinSPolynomial[data，Var] 在数据data上的插值多项式

RootSum[f,form] 得到f[x]=0的所有根，并求得Sum[form[xi]]

<随机函数>

Random[type,range] 产生type类型且在range范围内的均匀分布随机数

Random[] 0-1上的随机实数

SeedRandom[n] 以n为seed产生伪随机数

Random[distribution] 可以产生各种分布

<数值函数>

N[expr] 表达式的机器精度近似值

N[expr,n] 表达式的n位近似值，n为任意正整数

NSolve[1hs==rhs，val] 求方程数值解

Nsolve[eqn，Var, n] 求方程数值解，结果精度到n位

NDSolve[eqns，y，{x，xmin，xmax}] 微分方程数值解

NDSolve[eqns，{y1，y2，…}，{x，xmin，xmax}] 微分方程组数值解

FindRoot[1hs==rhs，{x,x0}] 以x0为初值，寻找方程数值解

FindRoot[1hs==rhs，{x，xstart，xmin，xmax}] 以xstart为初值，在[xmin,xmax]范围内寻找方程数值解

NSum[f,{imin,imax，di}] 数值求和，di为步长

NSum[f,{imin,imax，di},{jmin,jmax,dj},..] 多维函数求和

NProduct[f,{i,imin,imax,di}] 函数求积

NIntegrate[f，{x,xmin,xmax}] 函数数值积分

FindMinimum[f，{x,x0}] 以x0为初值，寻找函数最小值

FindMinimum[f，{x，xstart，xmin，xmax}] 以xstart为初值，在[xmin,xmax]范围内寻找函数最小值

ConstrainedMin[f,{inequ}，{x，y，..}] inequ为线性不等式组，f为x,y,…之线性函数，得到最小值及此时的x,y,…取值

ConstrainedMax[f，{inequ}，{x，y，..}] inequ为线性不等式组，f为x,y,…之线性函数，得到最大值及此时的x,y,…取值

LinearProgramming[C，m，b] 解线性组合C*x在m*x>=b&&x>=0约束下的最小值，x,b,C为向量，m为矩阵

LatticeReduce[{v1,v2...}] 向量组Vi的极小无关组

Fit[data,funs,vats] 用指定函数组对数据进行最小二乘拟合

Interpolation[data] 对数据进行插值

Lisfinterpolation[array] 对离散数据插值，array可为n维

ListInterpolafion[array,{{xmin,xmax}，{min,ymax},..}] 在特定网格上进行插值

FunctionInterpolation[expr,{x,xmin,xmax}，{y,ymin,ymax},..] 以对应expr[xi,yi]的数值为数据进行插值

Fourier[list] 对复数数据进行傅氏变换

InverseFourier[list] 对复数数据进行傅氏逆变换

<制表函数>

{e1,e2,...} 一个表，元素可以为任意表达式，无穷嵌套

Table[expr,{imax}] 生成一个表，共imax个元素

Table[expr,{i,imax}] 生成一个表，共imax个元素expr间

Table[expr,{i，imin,imax}，{j,jmin,jmax},..] 多维表

Range[imax] 简单数表(1，i+，imax)

Range[imin，imax，di] 从imin到imax，以di为步长的数表

Array[f,n] 一维表，元素为f…(i从1到n)

Array[f,{n1,n2..}] 多维表，元素为f (各自从1到ni)

IdentityMatrix[n] n阶单位阵

DiagonalMatrix[list] 对角阵

<元素操作>

Part[expr,i]或expr[[i]] 第i个元素

expr[[-i]] 倒数第i个元素

expr[{i,j,..}] 多维表的元素

expr[{i1,i2,..}] 返回由第i(n)的元素组成的子表

First[expr] 第一个元素

Last[expr] 最后一个元素

Head[expr] 函数头，等于expr[[0]]

Extract[expr,list] 取出由表list指定位置上expr的元素值

Take[list,n] 取出表list前n个元素组成的表

Take[list，{m,n}] 取出表list从m到n的元素组成的表

Drop[list,n] 去掉表list前n个元素组下的表

Rest[expr] 去掉表list第一个元素剩下的表

Select[USt，crit] 把crit作用到每一个list的元素上，为True的所有元素组成的表

Length[expr] expr第一层元素的个数

Dimensions[expr] 表的维数返回(n1,n2..),expr为一个nl*n2⋯的阵

TensorRank[expr] 秩

Depth[expr] expr最大深度

Level[expr,n] 给出expr中第n层子表达式的列表

Count[USt，paUem] 满足模式的list中元素的个数

MembefQ[1ist，form] list中是否有匹配form的元素

FreeQ[expr,form] MemberQ的反函数

FreeQ[expr,form] 表中匹配模式pattern的元素的位置列表

Cases[{e1,e2⋯}，pattem] 匹配模式pattem的所有元素ei的表

<表的操作>

Append[exp[elem] 返回在表expr的最后追加elem元素后的表

Prepend[expr,elem] 返回在表expr的最前添加elem元素后的表

Insert[1ist，elem，n] 在第n元素前插入elem

lnsert[expr,elem,{i,j,...}] 在元素expr[[{i,j,..}]]前插入elem

Delete[expr,{i,j,..}] 删除元素expr[[{i,j,..}]]后剩下的表

DeleteCases[expr,pattem] 删除匹配pattern的所有元素后剩下的表

ReplacePart[expr,new,n] 将expr的第n元素替换为new

Sort[list] 返回list按顺序排列的表

Reverse[expr] 把表expr倒过来

RotateLeft[expr,n] 把表expr循环左移n次

RotateRight[expr,n] 把表expr循环右移n次

Partition[list,n] 把list按每n个元素为一个子表分割后再组成的大表

Flatten[1ist] 抹平所有子表后得到的一维大表

Flatten[1ist,n] 抹平到第n层

Split[1ist] 把相同的元素组成一个子表，再合成的大表

<二维绘图>

Plot[f,{x,xmin,xmax}] 一维函数f[x]在区间[xmin,xmax]上的函数曲线

Plot[{fl,f2..},{x,xmin,xmax}] 在同一图形上画几条曲线

ListPlot[{y1,y2,..}] 绘出由离散点对(n，yn)组成的图

ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}] 绘出由离散点对(xn,ynl)组成的图

ParametricPlot[{fx,fy}，{t,tmin,tmax}] 由参数方程在参数变化范围内产生的曲线

ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},...},{t,tmin,truax}] 由参数方程组在参数变化范围内产生的曲线

<二维设置>

PlotRange->{0,1} 作图显示的值域范围

AspectRatio->1/GoldenRatio 生成图形的纵横比

PlotLabel->label 标题文字

Axes->{false,True} 分别制定是否画x,y轴

AxesLabel->{xlabel,ylabel} x,y轴上的说明文字

Ticks->None,Automatic,fun 用什么方式画轴的刻度

AxesOrigin->{x,y} 坐标轴原点位置

AxesStyle->{{xstyle},{ystyle}} 设置轴线的线性颜色等属性

Frame->True,False 是否画边框

FrameLabel->{xmlabel,ymlabel,xplabel,yplabel} 边框四边上的文字

FrameTicks 同Ticks 边框上是否画刻度

GridLines 同Ticks 图上是否画栅格线

Framestyle->{{xmstyle}，{ymstyle}} 设置边框线的线性颜色等属性

ListPlot[data,PlotJoined->True] 把离散点按顺序连线

Plotsytle->{{style1}，{style2},..} 曲线的线性颜色等属性

PlotPoints->15 曲线取样点，越大越细致

<三维绘图>

Plot3D[f,{x,xmin,xmax}，{y,ymin,ymax}] 二维函数flx,y]的空间曲面

Plot3D[{f，s}，{x,xmin,xmax}，{y,ymin,ymax}] 同上，曲面的染色由s(x,y)值决定

ListPlot3D[array] 二维数据阵array的立体高度图

ListPlot3D[array,shades] 同上，曲面的染色由shades[数据]值决定

ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}] 三维参数图形

ContourPlot[f,{x,xmin,xmax}，{y,ymin,ymax}] 二维函数f(x,y)在指定区间上的等高线图

ListContourPlot[array] 二维函数f(x,y)在指定array上的等高线图

<三维设置>

Contours->n 画n条等高线

Contours->{z1,z2，...} 在zi处画等高线

ContourShading->False 是否用深浅染色

ContourLines->True 是否画等高线

ContourStyle->{{stylel},{style2},..} 等高线线性颜色等属性

<密度图>

DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 二维函数f[x,y]在指定区间上的密度图

ListDensityPlot[array] 二维函数f[x,y]在指定array上的密度图

<图形显示>

Show[graphics,options] 显示一组图形对象，options为选项设置

Show[g1，g2,⋯] 在一个图上叠加显示一组图形对象

GraphicsArray[{g1，g2,...}] 在一个图上分块显示一组图形对象

SelectionAnimate[notebook,t] 把选中的notebook中的图画循环放映

<图元函数>

Graphics[prim，options] prim为下面各种函数组成的表，表示一个二维图形对象

Graphics3D[prim，options] prim为下面各种函数组成的表，表示一个三维图形对象

SurfaceGraphics[array，shades] 表示一个由array和shade决定的曲面对象

ContourGraphics[array] 表示一个由array决定的等高线图对象

DensityGraphics[array] 表示一个由array决定的密度图对象

Point[p] p={x，y}或{x，y，2}，在指定位置画点

Line[{p1，p2，..}] 经由Pi点连线

Rectangle[{xmin，ymin}，{xmax，ymax}] 画矩形

Cuboid[{xmin,ymin，zmin}，{xmax,ymax,zmax}] 由对角线指定的长方体

Polygon[{p1，p2，...}] 封闭多边形

Circle[{x,y}，r] 画圆

Circle[{x,y},{rx,ry}] 画椭圆，rx,ry为半长短轴

Circle[{x，y},r,{a1,a2}] 从角度al-a2的圆弧

Disk[{x，y},r] 填充的园、椭圆、圆弧等参数同上

Raster[array,ColorFunction->f] 颜色栅格

Text[expr,coords] 在坐标coords上输出表达式

PostScrip["string"] 直接用Postscript图元语言写

Scaled[{x，y...}] 返回点的坐标，且均大于0小于1

<着色及其它>

GrayLevel[level] 灰度level为0~1间的实数

RGBColor[red，green，blue] RGB颜色，均为0~I间的实数

Hue[h，s，b] 亮度，饱和度等，均为0~1间的实数

CMYKColor[cyan，magenta,yellow,block] CMYK颜色

Thicknessr[r] 设置线宽为r

PointSize[d] 设置绘点的大小

Dashing[{r1,r2,...}] 画一个单元的间隔长度的虚线

ImageSize->{x，y} 显示图形大小(单位为像素)

<流程控制>

If[condition,t,f] 如果condition为True,执行t，否则执行f段

if[condition，t，f，u] 如果condition为Tme，执行t，为False执行f，既非True

又非False，则执行u段

Which[test1,blockl,test2,block2..] 执行第一为True的tesfi对应的blocki

Switch[expr,forml,blockl,form2,block2...] 重复执行expr imax次

Do[expr,{imax}] 重复执行expr imax次

Do[expr,{i,imin,imax}，{j,jmin,jmax}] 多重循环

While[test，body] 循环执行body直到test为False

For[start,test,incr,body] 循环执行body直到test为False

Throw[value] 停止计算，把value返回给最近一个Catch处理

Throw[value，tag] 停止计算，把value返回给最近一个Catch处理

Catch[expr] 计算expr,遇到Throw返回的值则停止

Catch[expr，form] 当Throw[value，tag]中Tag匹配form时停止

Return[expr] 从函数返回，返回值为expr

Return[] 返回值Null

Breakl[] 结束最近的一重循环

Continuel[] 停止本次循环，进行下一次循环

Goto[tag] 无条件转向Label[Tag]处

Label[tag] 设置一个断点

Check[expr,fmlexpr] 计算expr,如果有出错信息产生，则返回failexpr的值

Check[expr,failexpr,s1::t1，s2::t2,...] 当特定信息产生时则返回failexpr

CheckAbort[expr,failexpr] 当产生abort信息时返回failexpr

Interrupt[] 中断运行

Abort[] 中断运行

TimeConstrained[expr,t] 计算expr，当耗时超过t秒时终止

MemoryConstrained[expr,b] 计算expr，当耗用内存超过b字节时终止运算

Print[exprl,expr2,...] 顺次输出expri的值

Input[] 产生一个输入对话框，返回所输入的任意表达式

Input["prompt"] 同上，prompt为对话框的提示

Pause[n] 运行暂停n秒

<零碎部分>

N[Exp，n] 取n位有效数字，也可以直接表达式后面加上“//N”,与之等效；

Solve[Exp] 解方程组；

Expand[Exp] 展开表达式；

Prime[n] 取第几位素数，内部原因，从2开始计；

Plot[Exp,{var,min,max}] 二维描点功能；

Plot3D[Exp,{var,min,max}] 三维描点功能；

ImplicitPlot[Exp,{var,min,max}] 隐函数描点功能，需提前挂载Graphics`ImplicitPlot`软件包；

Sqrt[n] 求n的平方根；

Abs[n] 取n的绝对值，复数为取模；

Sign[n] 符号函数，n为正返回“1”，n为负返回“0”，n为“0”返回“0”；

n！或Factorial[n] n的阶乘，n可以不是整数；

Random[*] 产生伪随机数，可选“Integer”“Real”“Complex”等类型；

Fibonacci[n] Fibonacci数列第n个数字；

Round[n] 取离n最近的整数，处于两整数中间时，取偶数；

Floor[n]  返回不超过n的整数；

Ceiling[n] 返回不小于n的整数；

IntegerPart[n] 返回n的整数部分；

FractionalPart[n] 返回n的小数部分；

Quotient[a,b]  返回a除以b得到的商；

Mod[a,b] 返回a除以b得到的余数；

GCD[a,b] 返回a与b的最大公约数，可推广到多个参数；

LCM[a,b] 返回a与b的最小公倍数，可推广到多个参数；

FactorInteger[n] 以嵌套列表（Mathematica的一种对象）的形式给出n的素数分解；

Log[n] 返回n的自然对数，若需要特定的以a为底数则为 Log[a，n];

三角函数分别为 Sin[n] Cos[n] Tan[n] Sec[n] Csc[n] Cot[n] ，默认以弧度为单位，若要以角度为单位，则在加上Degree，例如 Sin[30 Degree]，反三角函数分别是ArcSin，ArcCos，ArcTan，ArcSec，ArcCsc，ArcCot，反三角函数返回值皆以弧度表示；

双曲函数分别是：Sinh，Cosh，Tanh，Sech，Csch，Coth；反双曲函数分别是：ArcSinh，ArcCosh，ArcTanh，ArcSech，ArcCsch，ArcCoth，由于Csch和Sech并不是一一对应，所以ArcCosh与ArcSech对于实参数值只返回正值；